干货|MIT线性代数课程精细笔记[第六课]-子空间与零空间

MIT线性代数课程精细系列笔记

1 知识概要

本节从之前学习的子空间开始，介绍了子空间的部分性质。并重点介绍了列 空间与方程 Ax = b 之间的联系。并由此引出了零空间，根据 Ax = b 这个方程给 出了两种构建子空间的方法。

2 子空间

2.1 子空间回顾

很明显，子空间直线 L 或平面 P 上，任取两个向量相加，得到的向量仍在该 子空间中。而且将其上的向量做数乘伸长或缩短一定倍数，其结果也还在该子空 间中。所以它们都对线性运算封闭。

2.2 子空间的“交”与“并”

上面我们都是分别研究的两个子空间，那么接下来我们对两个空间之间联系 部分展开讨论

2.2.1 P∪L 空间

还是讨论上面𝑅 3 的子空间 P 与 L，首先要研究的就是它们的并空间，即：现 有一集合，包含了 P 与 L 中的所有向量，那么这个集合是子空间吗？

答案是否定的。

很明显，我们将直线 L 与平面 P 看做同一个集合 P∪L 之后,这个集合对线性 运算并不封闭。比如我们随便在直线 L 上取一个向量 a，在平面 P 上取一个向量 b。此时向量 a+b 方向就会夹在直线 L 与平面 P 之间，脱离了 P∪L 的范围。所以 P∪L 无法构成空间。

2.2.2 P∩L 空间

3 列空间

3.1 列空间回顾

那么这个子空间有多大呢？这就需要用 Ax = b 方程来解释了。

3.2 Ax = b 的空间解释(从 A 的角度)

4

零空间介绍

4.1 零空间介绍

4.2 Ax = b 的空间解释(从 x 的角度)

那如果上面构造零空间的方程右侧变为任意向量的话，其解集 x 还能构成 向量空间吗？

4 学习感悟

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